Решение задачи по математическому анализу: предел при x → 0

Содержимое статьи:

Задача: При x стремящемся к нулю найти предел:
$$\lim{x\to0} (e^x - 1) / x$$
Решение: 1. Неопределенность: При прямом подставлении x = 0 получаем неопределенность вида 0/0.
2. Преобразование числителя: Используем формулу разности экспонент:
$$e^x - 1 = e^x - e^0 = e^x -1$$
3. Подстановка в предел: Подставляем преобразованный числитель в предел:
$$\lim{x\to0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim{x\to0} \frac{e^x -1}{x}$$
4. Предел экспоненты: При x стремящемся к нулю экспонента e^x стремится к 1.
$$\lim{x\to0} e^x = e^0 = 1$$
5. Предел числителя: Подставляем предел экспоненты в числитель:
$$\lim{x\to0} (e^x -1) = 1-1 = 0$$
6. Окончательный результат: Подставляем предел числителя в предел дроби:
$$\lim{x\to0} (e^x - 1) / x = 0 / 0 = 1$$